Ch9 Shortest Path 9-1

📚 최단 경로 (Shortest Path) 알고리즘

최단 경로 (Shortest Path) 알고리즘 이란 말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘이다.

• 최단 경로 알고리즘 유형에는 다양한 종류가 존재한다.
  • 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로
  • 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
  • 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
• 학부 수준으로 다익스트라 최단 경로 알고리즘, 플로이드 워셜, 벨만 포트 알고리즘 이렇게 3가지이다.
  • 이 책은 다익스트라와 플로이드 워셜 2가지를 다룸.
• 그리디 알고리즘과 다이나믹 프로그래밍 알고리즘이 최단 경로 알고리즘에 그대로 적용된다는 특징이 있다.

다익스트라의 정확한 외래어 표기는 ‘데이크스트라’라고 한다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘

• 다익스트라 (Dijkstra) 최단 경로 알고리즘은 그래프에서 여러개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다.
• ‘음의 간선’이 없을 때 정삭적으로 동작한다.
• 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다. 매번 ‘가장 작은 비용이 적은 노드’를 선택해서 임의의 과정을 반복
• 알고리즘 간략 설명
  • 1) 출발 노드를 설정한다.
  • 2) 최단 거리 테이블을 초기화한다.
  • 3) 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 짧은 노드를 선택한다.
  • 4) 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
  • 5) 위 과정에서 3)과 4)번을 반복한다.
• 알고리즘 구현 방법은 2가지.
  • 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드
  • 구현하기 조금 더 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드

다익스트라 알고리즘: 동작 과정

• 초기 상태 다른 노드로 가는 값으로는 999,999,999 또는 987,654,321 (약10억) 으로 설정하기도 한다.
• 파이썬에서 기본으로 1e9를 실수 자료형으로 처리 하는데 모든 간선이 정수형으로 표현되는 문제에서는 int(1e9)로 초기화.
• 단게를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않는다.
  • 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해
• 마지막 노드는 나머지 노드들의 최단 거리가 확정된 상태이므로 더 이상 테이블 갱신이 될 수 없어 확인할 필요가 없다.
• 완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 한다.

• 방문하지 않은 노드 중 가장 짧은 노드는 값이 0인 1번 노드로 출발

• 1번 노드와 연결된 모든 간선을 하나씩 확인

• 4번 노드를 거쳐 3, 5번 노드 비용과 1번 노드에서 3, 5번 노드의 비용 비교

• 일반적으로 같은 값일 경우 노드 번호가 더 낮은 값을 선택.

• 마지막 노드는 처리하지 않아도 전체 결과를 얻음
  • 나머지 5개 노드에 대한 최단 거리가 확정된 상태이므로 더 이상 테이블 갱신 불가

방법 1. 간단한 다익스트라 알고리즘

• 총 $O(V)$번에 걸쳐서 최단 거리가 가장짧은 노드를 매번 선형탐색 -> 전체 시간복잡도 $O(V^2)$
  • V는 노드의 개수를 의미
  • 처음 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언
  • 단계마다 ‘방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택’하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(앞에서 부터 순차적 탐색)
• 노드의 개수가 5,000개 이하라면 일반적으로 가능
  • 개수가 10,000개 이상이면 이 코드로는 힘들다.

# 간단한 다익스트라 알고리즘 소스코드

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False]*(n+1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF]*(n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n+1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    # 시작 노드에서의 최단 거리 테이블 갱신
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n-1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now]+j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

# 입력 예시 
# 1. 노드와 간선 수
# 2. 출발 노드
# 3. 출발노드, 도착노드, 간선 
6 11
1
1 2 2 
1 3 5
1 4 1
2 3 3
2 4 2
3 2 3
3 6 5
4 3 3
4 5 1
5 3 1
5 6 2

# 출력 예시
0
2
3
1
2
4

방법 2. 개선된 다익스트라 알고리즘

• 단계마다 ‘방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택’하기 위해 힙(Heap) 자료구조를 이용 (간단한 다익스트라 알고리즘은 순차 탐색을 이용)
• 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일
  • 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해서 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다르다.
  • 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용한다.

힙 설명

• 완전 이진 트리의 일종이다.
• 최대값과 최솟값을 빠르게 찾기 위해 고안된 자료구조
• 우선순위 큐(Priority Queue)를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나.
• 최소 힙(Min Heap)과 최대 힙(Max Heap)이 있다.
  • 최대 힙: 부모 노드의 키 값이 자식 노드의키 값보다 크거나 같은 완전 이진 트리
  • 최소 힙: 부모 노드의 키 값이 자식 노드의키 값보다 작거나 같은 완전 이진 트리
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에서 사용된다.

(주의) 힙 정렬에서 말하는 ‘힙’과 메모리 할당 공간인 ‘힙’은 관련이 없다.

우선순위 큐는 왜 힙 자료구조를 사용할까?

• 이유는 수행시간 때문이다.
• heap은 삽입 삭제 연산이 모두 logN이지만 배열, 리스트와 같은 선형 구조의 형태는 삽입 혹은 삭제 둘 중 하나의 연산이 극단적인 수행 시간을 갖는다.
• 정렬이 되어있지 않은 배열과 리스트의 경우, 입력은 상수 수행시간을 가지며 우선순위에 부합하는 원소를 찾는 과정에서 최악의 경우 n 번의 연산 수행한다.
• 정렬이 되어있는 배열과 리스트의 경우, 입력하는 과정에서 정렬을 시켜야한다 따라서 최악의 경우 n 번의 연산을 수행한다.
• 자료구조와 알고리즘에서는 항상 최악의 상황을 고려해야 하는데 만약 n 개의 데이터 모두 최악의 경우에 놓인다면 $n^2$의 수행 시간을 갖게 된다.
• 힙의 경우 모두 최악의 상황에 놓인다 가정해도 $nlogn$의 수행 시간을 갖는다.

힙 라이브러리 사용 예제: 최소 힙

import heapq

# 오름차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
    h = []
    result = []
    # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
        heapq.heappush(h, value)
        # heapq.heappush(h, -value)
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
        result.append(heapq.heappop(h))
        # result.append(-heqpq.heappop(h))
    return result

result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)

실행결과

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
# [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]

• heappush(): 특정 리스트에 어떤 데이터를 넣을때
• heappop(): 특정 리스트에서 데이터를 꺼낼 때 -> 우선순위대로 꺼내짐
• default는 오름차순으로 꺼내진다.
• 최대 힙을 이용하고 싶을 때는 부호를 바꿔서 넣은 뒤, 꺼낼 때 다시 부호를 바꿔주면 됨
• n개의 데이터를 넣고 빼기 때문에 전체 시간복잡도 $O(NlogN)$
  • 병합, 퀵 정렬과 비슷한 시간복잡도

• 힙 동작 과정

  

우선순위 큐 설명

• 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조.
• 예를 들어 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야 하는 경우에 우선순위 큐를 이용할 수 있다.
• Python, C++, Java를 포함한 대부분의 프로그래밍 언어에서 표준 라이브러리 형태로 지원한다.
• 파이썬은 PriorityQueue 라는 라이브러리를 제공하여 코드는 간략해 지지만 속도가 매우 느리다.

자료구조	추출되는 데이터
스택(Stack)	가장 나중에 삽입된 데이터
큐(Queue)	가장 먼저 삽입된 데이터
우선순위 큐(Priority)	가장 우선순위가 높은 데이터

다익스트라 알고리즘: 우선순위 큐 동작 과정

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF]*(n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a].append((b,c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        # dist = 현재 확인하고 있는 노드까지의 거리값
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        # 값이 작다는 것은 이미 처리되어 최소 값이 들어가 있다는 의미
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

# 입력 예시
# 1. 노드와 간선 수
# 2. 출발 노드
# 3. 출발노드, 도착노드, cost
6 11
1
1 2 2
1 3 5
1 4 1
2 3 3
2 4 2
3 2 3
3 6 5
4 3 3
4 5 1
5 3 1
5 6 2

# 출력 예시
0
2
3
1
2
4

개선된 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도

• 힙 자료구조를 이용하는 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 $O(ElogV)$
  • N = 1,000,000일 때, $log_{2}N$이 약 20인 것을 감안하면 속도가 획기적으로 빨라진다.
• 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(while)은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 처리되지 않는다.
  • 결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.
• 직관적으로 전체 과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다.
  • 시간 복잡도를 $O(ElogE)$로 판단할 수 있다.
  • 중복 간선을 포함하지 않는 경우에 이를 $O(ElogV)$로 정리할 수 있다 (E가 아무리 많아도 $V^2$를 넘을 수 없음)
    • $O(ElogE)$ -> $O(ElogV^2)$ -> $O(2ElogV)$ -> $O(ElogV)$
    • 통상적으로 간선의 개수 20만 개 이상, 노드 2만 개 이상 이여도 1초 안에 가능

플로이드 워셜 알고리즘

• 모든 노드에서 다른 노드까지의 최단 경로를 모두 계산한다.
• 플로이드 워셜(Floyd-warshall)알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다.
  • 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않는다.
• 플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장한다.
• 가중치가 음수여도 사용이 가능하다.
• 다익스트라 보다 구현은 쉽지만 시간복잡도$O(N^3)$
• 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍(DP)유형에 속한다.
  • 각 단계마다 특정한 노드 K를 거쳐 가는 경우를 확인한다.
    • a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사.
  • 점화식은 $D_{ab} = min(D_{ab},D_{ak}+D_{kb})$

플로이드 워셜 알고리즘: 동작 과정

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 무한으로 초기화
graph = [[INF]*(n+1) for _ in range(n+1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n+1):
    for a in range(1, n+1):
        for b in range(1, n+1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == INF:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

# 입력 예시
4
7
1 2 4
1 4 6
2 1 3
2 3 7
3 1 5
3 4 4
4 3 2

# 출력 예시
0 4 8 6
3 0 7 9
5 9 0 4
7 11 2 0