Ch8 Dynamic Programing 8-2
⚡ [문제 1] 1로 만들기
- 난이도: 🌕🌗
- 풀이시간: 20분
- 시간 제한: 1초
- 메모리 제한: 128MB
[문제]
정수 X가 주어질때 정수 X에 사용할 수 있는 연산은 다음과 같이 4가지이다.
1) X가 5로 나누어떨어지면, 5로 나눈다.
2) X가 3으로 나누어 떨어지면, 3으로 나눈다.
3) X가 2로 나누어 떨어지면, 2로 나눈다.
4) X에서 1을 뺀다.
정수 X가 주어졌을때, 연산 4개를 적절히 사용해서 1을 만들어야한다. 이 연산을 사용하는 횟수의 최솟값을 출력해라.
X = 26일 경우
- 26 - 1 = 25
- 25 /5 = 5
- 5 / 5 = 1
[입력 조건]
- 첫째 줄에 정수 X이 주어진다. (1<=X<=30,000)
[출력 조건]
- 첫째 줄에 연산을 하는 횟수의 최솟값을 출력한다.
# 입력 예시
26
# 출력 예시
3
[문제 해설]
- 피보나치 수열 문제를 도식화했던 것처럼 문제를 풀기 전에 함수가 호출되는 과정을 그림으로 그리면 이해에 도움이 된다.
- 최적 부분 구조(작은 문제들의 조합)와 중복되는 부분 문제(동일한 문제 여러번 호출)를 만족
- 각각의 값을 만들 수 있는 최소 연산 횟수를 바텀업 방식으로 구해나가면 된다.
- 점화식은 $a_i = min(a_{i-1}, a_{i/2}, a_{i/3}, a_{i/5})+1$
- 단, 1을 빼는 연산을 제외하고는 해당 수로 나누어 떨어질 때에 한해 점화식 적용
- DP테이블을 통해 작은 값부터 최적해가 저장되어 있기 때문에 그 값을 이용.
# 교재 풀이
# 정수 x를 입력받기
x = int(input())
# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 30001
# 다이나믹 프로그래밍(DP) 보텀업
for i in range(2, x+1):
# 현재의 수에서 1을 빼는 경우
d[i] = d[i-1] + 1
# 현재의 수가 2로 나누어 떨어지는 경유
if i%2 == 0:
d[i] = min(d[i], d[i//2] + 1)
# 현재의 수가 3로 나누어 떨어지는 경유
if i%3 == 0:
d[i] = min(d[i], d[i//3] + 1)
# 현재의 수가 5로 나누어 떨어지는 경유
if i%5 == 0:
d[i] = min(d[i], d[i//5] + 1)
print(d[x])
⚡ [문제 2] 개미 전사
- 난이도: 🌕🌕
- 풀이시간: 30분
- 시간 제한: 1초
- 메모리 제한: 128MB
[문제]
개미전사는 부족한 식량을 충당하고자 메뚜기 마을의 식량창고를 몰래 공격하려고 한다. 메뚜기 마을에는 여러 개의 식량창고가 있는데 식량창고는 일직선으로 이어져 있다. 각 식량창고에는 정해진 수의 식량을 저장하고 있으며 개미 전사는 식량창고를 선택적으로 약탈하여 식량을 빼앗을 예정이다. 이때 메뚜기 정찰병들은 일직선상에 존재하는 식량창고 중에서 서로 인접한 식량창고가 공격받으면 바로 알아챌 수 있다. 따라서 개미 전사가 정찰병에게 들키지 않고 식량창고를 약탈하기 위해서는 최소한 한 칸 이상 떨어진 식량창고를 약탈해야 한다. 예를 들어 식량창고 4개가 다음과 같이 존재한다고 가정하자.
{1, 3, 1, 5} 이때 개미 전사는 두 번째 식량창고와 네 번째 식량창고를 선택했을 때 최댓값인 총 8개의 식량을 빼앗을 수 있다. 개미 전사는 식량창고가 이렇게 일직선상일 때 최대한 많은 식량을 얻기를 원한다.
개미 전사를 위해 식량창고 N개에 대한 정보가 주어졌을 때 얻을 수 있는 식량의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.
[입력 조건]
- 첫째 줄에 식량창고의 개수 N이 주어진다. (3<=N<=100)
- 둘째 줄에 공백으로 구분되어 각 식량창고에 저장된 식량의 개수 K가 주어진다. (0<=K<=1,000)
[출력 조건]
- 첫째 줄에 개미 전사가 얻을 수 있는 식량의 최댓값을 출력하시오.
# 입력 예시
4
1 3 1 5
# 출력 예시
8
[문제 해설]
- $a_i = i$번째 식량창고까지의 최적의 해(얻을 수 있는 식량의 최댓값)
- $k_i = i$번째 식량창고에 있는 식량의 양
- 점화식은 $a_i = max(a_{i-1}, a_{i-2}+k_i)$
- (i-3)번째 이하는 항상 털 수 있기 때문에 고려할 필요가 없다.
# 교재 풀이
# 정수 n을 입력받기
n = int(input())
# 모든 식량 정보 입력받기
arr = list(map(int, input().split()))
# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100
# 다이나믹 프로그래밍(DP) 보텀업
d[0] = arr[0]
d[1] = max(arr[0], arr[1])
for i in range(2, n):
d[i] = max(d[i-1], d[i-2] + arr[i])
# 계산된 결과 출력
print(d[n-1])
⚡ [문제 3] 바닥 공사
- 난이도: 🌕🌗
- 풀이시간: 20분
- 시간 제한: 1초
- 메모리 제한: 128MB
[문제]
문제가로의 길이가 N, 세로의 길이가 2인 직사각형 형태의 얇은 바닥이 있다.
태일이는 이 얇은 바닥을 1 X 2의 덮개, 2 X 1의 덮개, 2 X 2의 덮개를 이용해 채우고자 한다.
이 때 바닥을 채우는 모든 경우의 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.
[입력 조건]
- 첫째 줄에 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000)
[출력 조건]
- 첫째 줄에 N이 1이 될 때까지 1번 혹은 2번의 과정을 수행해야 하는 최솟값을 출력한다.첫째 줄에 2 X N 크기의 바닥을 채우는 방법의 수를 796,796으로 나눈 나머지를 출력한다.
# 입력 예시
3
# 출력 예시
5
[문제 해설]
- 왼쪽부터 i-1 까지 길이가 덮개로 이미 채워져 있으면 2*1의 덮개를 채우는 하나의 경우밖에 존재하지 않는다.
- 왼쪽부터 i-2 까지 길이가 덮개로 이미 채워져 있으면 2*2의 덮개를 채우는 경우는 2가지 존재한다.
- 점화식은 $a_i = a_{i-1}+a_{i-2}*2$
# 교재 풀이
# 정수 n을 입력받기
n = int(input())
# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP테이블 초기화
d = [0] * 1001
# 다이나믹 프로그래밍(DP) 보텀업
d[0] = 1
d[1] = 3
for i in range(2, n+1):
d[i] = (d[i-2]*2 + d[i-1]) % 796796
# 계산된 결과 출력
print(d[n])
⚡ [문제 4] 효율적인 화폐 구성
- 난이도: 🌕🌕
- 풀이시간: 30분
- 시간 제한: 1초
- 메모리 제한: 128MB
[문제]
N가지 종류의 화폐가 있다. 이 화폐들의 개수를 최소한으로 이용해서 그 가치의 합이 M원이 되도록 하려고 한다. 이때 각 화폐는 몇 개라도 사용할 수 있으며, 사용한 화폐의 구성은 같지만 순서만 다른 것은 같은 경우로 구분한다. 예를 들어 2원, 3원 단위의 화폐가 있을 때는 15원을 만들기 위해 3원을 5개 사용하는 것이 가장 최소한의 화폐 개수이다.
[입력 조건]
- 첫째 줄에 N,M이 주어진다(1<= N <= 100, 1<= M <= 10,000)
- 이후의 N개의 줄에는 각 화폐의 가치가 주어진다. 화폐의 가치는 10,000보다 작거나 같은 자연수이다.
[출력 조건]
- 첫째 줄에 경우의 수 X를 출력한다.
- 불가능할 때는 -1을 출력한다.
# 입력 예시
2 15
2
3
# 출력 예시
5
[문제 해설]
- $a_i =$ 금액 i를 만들 수 있는 최소한의 화폐 개수
- $k =$ 각 화폐의 단위
- 점화식: 각 화폐 단위인 k를 하나씩 확인하며
- $a_{i-k}$를 만드는 방법이 존재하는 경우, $a_i = min(a_i,a_{i-k}+1)$
- $a_{i-k}$를 만드는 방법이 존재하지 않는경우, $a_i = INF$
Ex) N = 3, M = 7, 화폐단위 2,3,5
[Step 0] 초기화
- 먼저 각 인덱스에 해당하는 값으로 INF(무한)의 값을 설정.
- INF은 특정 금액을 만들 수 있는 화폐 구성이 가능하지 않다는 의미.
- 본 문제에서는 10.001을 사용할 수 있음.
[Step 1]
- 첫 번째 화폐 단위인 2를 확인.
- 점화식에 따라서 다음과 같이 리스트 갱신.
- 4원을 만들기 위한 개수는 2개: (2원+2원)
- 7원을 만드는 방법이 없음
[Step 2]
- 두 번째 화폐 단위인 3를 확인.
- 점화식에 따라서 다음과 같이 리스트 갱신.
- 7원을 만들기 위한 개수는 3개: (2원+2원+3원)
[Step 3]
- 세 번째 화폐 단위인 5를 확인.
- 점화식에 따라서 다음과 같이 최종적 리스트 갱신.
- 7원을 만들기 위한 개수는 2개: (2원+5원)
# 교재 풀이
import sys
input = sys.stdin.readline
# 정수 n, m을 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# n개의 화폐 단위 정보를 입력받기
arr = []
for i in range(n):
arr.append(int(input()))
# 한 번 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [10001]*(m+1)
# 다이나믹 프로그래밍(DP) 보텀업
d[0] = 0
for i in range(n):
for j in range(arr[i], m+1):
if d[j-arr[i]] != 10001: # (i-k)원을 만드는 방법이 존재하는 경우
d[j] = min(d[j], d[j-arr[i]]+1)
# 계산된 결과 출력
if d[m] == 10001: # 최종적으로 m원을 만드는 방법이 없는 경우
print(-1)
else:
print(d[m])
🍀 회고
마지막 문제는 정말 어려웠다… DP문제는 주어진 문제가 DP인것을 빠르게 파악하여 점화식 즉, 규칙을 찾는것이 중요하며 어렵게 문제를 출제 하려면 매우 어렵게 나올 수 있다. DP문제는 많이 어렵게 나오는 경우가 적다고 하니 기본적인 문제에 집중해야겠다.
댓글남기기