Ch10 Graph Theory 10-1

📚 복습

DFS/BFS와 최단경로는 그래프 알고리즘의 한 유형 이며 이외에도 그래프 알고리즘은 굉장히 다양한데, 코딩 테스트에서 출제 비중이 낮지만 꼭 알아야 하는 알고리즘이다. 10장에서 다룰 알고리즘은 앞서 배운 내용에 기반한다.

• 크루스칼 알고리즘(Kruskal Algorithms): 그리디 알고리즘의 한 유형
• 위상 정렬 알고리즘(Topology Algorithms): 큐 자료구조 or 스택 자료구조를 활용해 구현

📌알고리즘 문제를 접했을 때 알아두어야 할 점

• ‘서로 다른 개체(혹은 객체)가 연결되어 있다’는 이야기는 가장 먼저 그래프 알고리즘을 떠올려야 한다.
  • 예를들어 ‘여러 개의 도시가 연결되어 있다’와 같은 내용이 등장하면 그래프 알고리즘을 의심해보자.

그래프 자료구조 중에서 트리(Tree) 자료구조는 다양한 알고리즘에서 사용되므로 꼭 기억.

• 트리 자료구조는 부모 -> 자식으로 내려오는 계층적인 모델이다.
• 트리는 수학에서는 무방향 그래프로 간주하지만, 컴퓨터공학 분야에서는 방향 그래프로 간주한다.

앞서 그래프의 구현 방법에는 2가지가 있다고 했다. 두 방식은 메모리와 속도 측면에서 구별된다.

• 인접 행렬(Adjacency Matrix): 2차원 배열을 사용하는 방식
  • 간선 정보를 저장하기 위해 O(V²)만큼의 메모리 공간 필요
  • 특정 노드 A에서 다른 특정 노드 B로 이어진 간선의 비용을 O(1) 시간으로 즉시 알 수 있다.
  • 플로이드 워셜 알고리즘은 인접 행렬을 이용
    • 모든 노드에 대해 다른 노드로 가는 최소 비용을 V² 크기의 2차원 리스트에 저장한 뒤에, 해당 비용을 갱신해서 최단 거리를 계산
• 인접 리스트(Adjacency List): 리스트를 사용하는 방식
  • 간선의 개수만큼인 O(E)만큼만 메모리 공간 필요
  • 특정 노드 A에서 다른 특정 노드 B로 이어진 간선의 비용을 알려면 O(V)만큼의 시간이 소요된다.
  • 우선순위 큐를 이용하는 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 인접 리스트를 이용
    • V개의 리스트를 만들어서 각 노드와 연결된 모든 간선에 대한 정보를 리스트에 저장

📌알고리즘 선택시 알아두어야 할 점

• 메모리와 시간을 염두에 두고 알고리즘을 선택해서 구현해야 한다.
  • 예를 들어, 최단 경로를 찾아야하는 문제가 있을 때, 노드의 개수가 적은 경우에는 플로이드 워셜 알고리즘을, 노드와 간선의 개수가 많은 경우에는 우선순위 큐를 사용하는 다익스트라 알고리즘을 사용하면 유리하다.

📚 서로소 집합 (Disjoint Sets) 알고리즘

서로소 집합 (Disjoint Sets)란 공통 원소가 없는 두 집합을 의미한다.

• 서로소 집합 자료구조란 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조라고 할 수 있다.
• 서로소 집합 자료구조는 두 종류의 연산을 지원한다.
  • 합집합(Union): 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산이다.
  • 찾기(Find): 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산이다.
• 서로소 집합 자료구조는 합치기 찾기(Union Find) 자료구조 라고 불리기도 한다.

서로소 집합 자료구조

• 여러 개의 합치기 연산이 주어졌을 때 서로소 집합 자료구조의 동작 과정은 다음과 같다.

  1. 합칩합(Union) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.

     1) A와 B의 루트 노드 A’, B’를 각각 찾는다.
     2) A’를 B’의 부모 노드로 설정한다.

  2. 모든 합집합(Union) 연산을 처리할 때까지 1번의 과정을 반복한다.

• 합집합 연산 시 일반적으로 큰 루트 노드가 작은 루트 노드를 따르는 것이 관행적이다.

서로소 집합 자료구조: 동작 과정 살펴보기

서로소 집합 자료구조: 연결성

• 서로소 집합 자료구조에서는 연결성을 통해 손쉽게 집합의 형태를 확인할 수 있다.

• 기본적인 형태의 서로소 집합 자료구조에서는 루트 노드에 즉시 접근할 수 없다.
  • 루트 노드를 찾기 위해 부모 테이블을 계속해서 확인하며 거슬러 올라가야 한다.

서로소 집합 자료구조: 구현 방법

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
  # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
  if parent[x] != x:
    return find_parent(parent, parent[x])
  return x

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
  a = find_parent(parent, a)
  b = find_parent(parent, b)
  if a < b:
    parent[b] = a
  else:
    parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
	parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
	a, b = map(int, input().split())
  union_parent(parent, a, b)
 
# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
  print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
  print(parent[i], end=' ')

#입력 예시
6 4
1 4
2 3
2 4
5 6

#출력 예시
각 원소가 속한 집합: 1 1 1 1 5 5
부모 테이블: 1 1 2 1 5 5

서로소 집합 자료구조: 기본적인 구현 방법의 문제점

• 합집합(Union) 연산이 편향되게 이루어지는 경우 찾기(Find) 함수가 비효율적으로 동작함
• 최악의 경우에는 찾기(Find) 함수가 모든 노드를 다 확인하게 되어 시간 복잡도가 O(V)
  • 다음과 같이 {1, 2, 3, 4, 5]의 총 5개의 원소가 존재하는 상황을 확인했을 경우
  • 수행된 연산들: Union(4,5), Union(3,4), Union(2,3), Union(1,2)

서로소 집합 자료 구조: 경로 압축

• 찾기(Find) 함수를 최적화하기 위한 방법으로 경로 압축(Path Compression)을 이용할 수 있음
  • 찾기(Find) 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

• 경로 압출 기법을 적용하면 각 노드에 대하여 찾기(Find) 함수를 호출한 이후에 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 됨
• 동일한 예시에 대해서 모든 합집합(Union) 함수를 처리한 후 각 원소에 대하여 찾기(Find) 함수를 수행하면 다음과 같이 부모 테이블이 갱신
• 기본적인 방법에 비하여 시간 복잡도가 개선됨

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화히기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, 1), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end=' ')

#입력 예시
6 4
1 4
2 3
2 4
5 6

#출력 예시
각 원소가 속한 집합: 1 1 1 1 5 5
부모 테이블: 1 1 1 1 5 5 

서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도

• 경로 압축 방법만을 사용하며 노드의 개수가 v, 최대 v-1개의 union 연산과 m개의 find 연산이 가능하면
• 시간 복잡도는 $O(V + M(1+log_{2-M/V}V))$이다.
• 더 짧은 방법도 존재하지만 코테 수준에서 경로 압축만 적용해도 충분하며 개념 및 구현 간단하다.

서로소 집합을 활용한 사이클 판별

• 서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다.
  • 참고로 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별할 수 있다.(해당 내용은 책에서 다루지 않는다)
• 사이클 판별 알고리즘은 다음과 같다.

  1. 각 간선을 하나씩 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.

     1) 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 합집합(Union) 연산을 수행한다.
     2) 루트 노드가 서로 같다면 사이클(Cycle)이 발생한 것이다.

  2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다.

서로소 집합을 활용한 사이클 판별: 동작 과정 살펴보기

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화히기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

cycle = False # 사이클 발생 여부

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    # 사이클이 발생한 경우 종료
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
        cycle = True
        break
    # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
    else:
        union_parent(parent, a, b)

if cycle:
    print("사이클이 발생했습니다.")
else:
    print("사이클이 발생하지 않았습니다.")

#입력 예시
3 3
1 2
1 3
2 3

#출력 예시
사이클이 발생했습니다.

📚 신장트리 (Spanning Tree)

• 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다.
  • 모든 노드가 포함되어 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 성립 조건이기도 하다.

• 신장 트리가 아닌 부분은 1번 노드가 포함되어 있지 않으며, 사이클이 존재한다.

---

• 최소한의 비용으로 구성되는 신장 트리를 찾아야 할 때 어떻게 할까?
• 예를 들어 N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있는 도로를 설치하는 경우를 생각한다.
  • 두 도시 A, B를 선택했을 때 A에서 B로 이동하는 경로가 반드시 존재하도록 도로를 설치

크루스칼 알고리즘

• 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘
• 그리디 알고리즘으로 분류
• 트리의 자료구조이므로 간선의 개수는 ‘노드의 개수-1’과 같다.
• 구체적인 동작 과정은 다음과 같다.
  1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬

  2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.

     1) 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함한다.
     2) 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.

  3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다.

크루스칼 알고리즘: 동작 과정

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(x):
    # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(a, b):
    a = find_parent(a)
    b = find_parent(b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블 상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(a) != find_parent(b):
        union_parent(a, b)
        result += cost

print(result)

#입력 예시
7 9
1 2 29
1 5 75
2 3 35
2 6 34
3 4 7
4 6 23
4 7 13
5 6 53
6 7 25

#출력 예시
159

크루스칼 알고리즘: 성능 분석

• 크루스칼 알고리즘은 간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가진다.
• 왜냐하면 크루스칼 알고리즘에서 가장 많은 시간을 요구하는 것은 간선의 정렬을 수행하는 부분이다.
  • 표준 라이브러리를 이용해 E개의 데이터를 정렬하기 위한 시간 복잡도는 O(ElogE)

📚 위상 정렬 (Topology Sort)

• 사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 ‘방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것’을 의미
• 예시) 선수과목을 고려한 학습 순서 설정

• 위 세 과목을 모두 듣기 위한 적절한 학습 순서는?
  • 자료구조 -> 알고리즘 -> 고급 알고리즘 (O)
  • 자료구조 -> 고급 알고리즘 -> 알고리즘 (x)

진입차수와 진출차수

• 진입차수(Indegree): 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
• 진출차수(Outdegree): 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수

위상 정렬 알고리즘

• 큐를 이용하는 위상 정렬 알고리즘의 동작 과정은 다음과 같다. (DFS로도 가능)
  1. 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.
  2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
     1). 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거한다.
     2). 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

-> 결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같다.

위상 정렬 알고리즘: 동작 과정

• 위상 정렬을 수행할 그래프를 준비
  • 이때 그래프는 사이클이 없는 방향 그래프 (DAG)여야 한다.

• 본 예제는 더 작은 번호의 노드가 우선으로 큐에 들어가게끔 가정

위상 정렬 알고리즘: 특징

• 위상 정렬은 DAG에 대해서만 수행할 수 있다.
  • DAG (Direct Acyclic Graph): 순환하지 않는 방향 그래프
• 위상 정렬에서는 여러 가지 답이 존재할 수 있다.
  • 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면 여러 가지 답이 존재할 수 있다.
• 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다.
  • 사이클에 포함된 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못한다.
• 스택을 활용한 DFS를 이용해 위상 정렬을 수행할 수도 있다.

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)
    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)
    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()

#입력 예시
7 8
1 2
1 5
2 3
2 6
3 4
4 7
5 6
6 4

#출력 예시
1 2 5 3 6 4 7

위상 정렬 알고리즘: 성능 분석

• 위상 정렬을 위해 차례대로 모든 노드를 확인하며 각 노드에서 나가는 간선을 차례대로 제거해야 함
  • 위상 정렬 알고리즘의 시간 복잡도는 O(V + E)